Logit 变换

定义

Logit 变换是将概率 p（0 到 1 之间的值）映射到整条实数轴（-∞ 到 +∞）的数学变换。它是机器学习中 sigmoid 函数的反函数。

公式

x = log(p / (1-p))

即概率 p 的对数赔率（log-odds）。

示例

概率 p	Logit x
0.01	-4.60
0.10	-2.20
0.50	0
0.80	1.39
0.95	2.94
0.99	4.60

为什么需要它

问题：Black-Scholes 假设价格可以在整条数轴上自由移动，但概率被”关”在 0 到 1 之间。

后果：越接近 0 或 1，概率的行为越”粘”——$0.95 到$0.96 和 $0.50 到$0.51 虽然都是涨了 0.01，但信息量完全不同。

比喻：你在一个走廊里跑步。走廊中间可以自由奔跑，但越接近墙壁越得减速。概率也是一样。

解决方案：Logit 变换把走廊变成操场。概率在 0 和 1 附近的”粘性”消失了。

在预测市场做市中的应用

1. 不直接建模概率 p，而是建模它的 logit 变换 x
2. 在 x 上使用 Black-Scholes 等传统数学工具
3. 在 logit 空间里，等距的变化代表等量的信息冲击

与机器学习的关系

• Sigmoid 函数：σ(x) = 1 / (1 + e^(-x))，把任意数字压缩到 0-1 之间
• Logit 变换：logit(p) = log(p / (1-p))，做相反的事情
• 在逻辑回归和神经网络中广泛使用

相关概念

• Black-Scholes 模型 — Logit 变换的目标是让 BS 适配预测市场
• 概率论 — Logit 变换处理的核心对象
• 做市 — Logit 变换是预测市场做市的关键工具